드모르간의 법칙을 활용한 추론 행복한 논리학

어떤 침례교 신학자는 콘푸레이크이고, 어떤 감리교 신학자는 소승불교의 승려다.
따라서 침례교 신학자이면서 콘푸레이크인 그런 것은 없거나, 감리교 신학자이면서 소승불교의 승려인 그런 것은 없거나, 둘 중에 하나인 것은, 아니다.

증명:

F: 침례교 신학자.
G: 콘푸레이크.
H: 감리교 신학자.
R: 소승불교의 승려.

1. (∃x)(Fx & Gx) & (∃x)(Hx & Rx)
∴ ~(~(∃x)(Fx & Gx) ∨ ~(∃x)(Hx & Rx))
2. asm: ~(∃x)(Fx & Gx) ∨ ~(∃x)(Hx & Rx)   
3. (∃x)(Fx & Gx)                                  1, S
4. ~(∃x)(Hx & Rx)                                2, 3, MTP
5. (∃x)(Hx & Rx)                                  1, S
∴ 6. ~(~(∃x)(Fx & Gx) ∨ ~(∃x)(Hx & Rx))  2-5, RAA
Q.E.D.

위의 추론은 *(A & B), 따라서 not-(not-A or not-B)*라는 형식으로서, 위와 같이 술어논리로 기호화하여 추론의 타당성을 증명할 수 있을뿐만 아니라, 문장논리로도 그 타당성이 증명되는 구조이다. 그러나 위의 추론 구조에서 *(∃x)(Fx & Gx)*를 형식적으로 동치인 *(∃x)~(~Fx ∨ ~Gx)*로 대체하여 *(∃x)~(~Fx ∨ ~Gx) & (∃x)(Hx & Rx)*를 바탕으로 드모르간의 법칙을 활용한 추론을 전개하여 타당성을 증명하더라도, 증명과정에서 다소 다른 추론규칙이 적용될 뿐, 실제로 추론의 타당성 검증에는 문제가 없다. 요컨대, 문장논리의 골격에 내용을 논리적 형식에 있어 동치인 다른 내용으로 채워넣어 추론 증명과정을 성립하더라도, 추론의 타당성은 그대로 유지된다는 것이다. 스바라시!!! 요시!!!