술어논리에는 이른바 공리(axiom)라는 것이 있는데, 공리는 다른 추가적인 전제에 의존하지 않고도 그 자체로 증명과정에 도입가능한 일종의 공식이다. 다음과 같은 공리는 자연연역으로 증명가능하다.
∴ (∀x)(∀y)(x = y ↔ (Fx ↔ Fy))
1. asm: ~(∀x)(∀y)(x = y ↔ (Fx ↔ Fy))
2. (∃x)(∃y)~(x = y ↔ (Fx ↔ Fy)) 1, QN
3. ~(a = b ↔ (Fa ↔ Fb)) 2, EI
4. ~((a = b → (Fa ↔ Fb)) & ((Fa ↔ Fb) → a = b)) 3, BCR
5. ~(a = b → (Fa ↔ Fb)) ∨ ~((Fa ↔ Fb) → a = b) 4, DM
6. asm: Fa ↔ Fb
7. Fa → Fb & Fb → Fa 6, BCR
8. a = a II
9. a = b 6, 7, 8, IE
10. ∴ (Fa ↔ Fb) → a = b 6-9, CI
11. asm: a = b
12. Fa ↔ Fb 11, 12, L
13. ∴ (a = b → (Fa ↔ Fb)) 12-13, CI
14. ((a = b → (Fa ↔ Fb)) & ((Fa ↔ Fb) → a = b) 10, 13, Adj.
∴ 15. (∀x)(∀y)(x = y ↔ (Fx ↔ Fy)) 1, 4, 14, RAA
Q.E.D.
위에서 보듯, 술어논리의 공리는 다른 추가적인 전제에 의존하지 않으면서, 그 자체로 타당한 것으로 증명된다. 술어논리의 공리들은 무수히 많으며, 위와 같은 공리에 내용을 대입하여, 예를 들어, 술어 *F*에 *똥물에 잠수한 칼빈주의자*를 대입하여, 위와 같은 추론을 자연연역으로 증명해도 된다. 요시!!! 스바라시!!!
